「知识总结」特征多项式与线性递推【矩阵乘法】

特征多项式

定义

定义 n×nn \times n 的矩阵 AA 的特征多项式为:

p(λ)=det(λIA)=λn+g1λn1+g2λn2++gn\begin{aligned} p(\lambda) &= \det(\lambda I - A) \\ &= \lambda^n + g_1 \lambda^{n - 1} + g_2 \lambda^{n - 2} + \cdots + g_n \end{aligned}

其中 IIn×nn \times n 的单位矩阵,λ\lambda 可以为实数、向量或矩阵。

性质

根据 Cayley-Hamilton\text{Cayley-Hamilton} 定理,AA 满足:

p(A)=Op(A) = O

其中 OO 为零矩阵。则 k\forall k

Ak=Ak mod p(A)A^k = A^k \text{ mod } p(A)

上一步本质上将 AkA^k 表示为以 AA 为变量、次数小于 nn 的多项式。

示例

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