「APIO 2014」序列分割【DP + 斜率优化】

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Description

小 H 最近迷上了一个分割序列的游戏。在这个游戏里,小 H 需要将一个长度为 nn 的非负整数序列分割成 k+1k+1 个非空的子序列。为了得到 k+1k+1 个子序列,小 H 需要重复 kk 次以下的步骤:

  1. 小 H 首先选择一个长度超过 11 的序列(一开始小 H 只有一个长度为 nn 的序列——也就是一开始得到的整个序列);
  2. 选择一个位置,并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。

每次进行上述步骤之后,小 H 将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式,使得 kk 轮之后,小 HH 的总得分最大。

Input

11 行包含两个整数 n,kn,k
22 行包含 nn 个非负整数 a1,a2,ana_1, a_2, \cdots a_n,表示一开始小 H 得到的序列。

Output

第一行包含一个整数,为小 H 可以得到的最大分数。

Sample Input

1
2
7 3 
4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

1
2
108
1 3 5

Constraints

2n1052 \leqslant n \leqslant 10^5, 1kmin{n1,200}1 \leqslant k \leqslant \min\{n-1, 200\}

Solution

方法一

首先发现分割顺序对答案无影响,设 f(i,j)f(i, j) 表示前 ii 个数分成 jj 段的答案,则

f(i,j)=maxk=j1i1{f(k,j1)+(sisk)(snsi)}\displaystyle f(i, j) = \max_{k=j-1}^{i-1} \Big\{f(k, j-1) + (s_i - s_k) \cdot (s_n - s_i)\Big\}

时间复杂度为 O(n2k)O(n^2 \cdot k)

方法二

g(i)=f(i,j1)g(i) = f(i, j-1),上式化为

g(i)=(s1snsi2)+max{g(k)sksn+sksi}g(i) = (s_1 s_n - s_i^2) + \max\Big\{g(k) - s_k s_n + s_k s_i\Big\}

h(i)=g(i)sisnh(i) = g(i) - s_i s_n,考虑两个决策 k=ak = a​ 和 k=bk = b,若 aabb 优,即

h(i)h(j)sasb>si\frac{h(i) - h(j)}{s_a - s_b} > s_i

代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn = 100010;
int n, m, a[maxn], q[maxn], g[210][maxn];
ll *f0, S[maxn], f[2][maxn];

ll h(int i) {
return f0[i] - S[i] * S[i];
}

double slope(int i, int j) {
return S[i] == S[j] ? -1e18 : 1.0 * (h(j) - h(i)) / (S[i] - S[j]);
}

int main() {
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &a[i]);
S[i] = S[i - 1] + a[i];
}
for (int j = 1; j <= m; j++) {
f0 = f[j & 1 ^ 1];
int l = 0, r = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
while (l < r && slope(q[l], q[l + 1]) <= S[i]) {
l++;
}
f[j & 1][i] = f0[q[l]] + S[q[l]] * (S[i] - S[q[l]]);
g[j][i] = q[l];
while (l < r && slope(q[r - 1], q[r]) >= slope(q[r], i)) {
r--;
}
q[++r] = i;
}
}
printf("%lld\n", f[m & 1][n]);
for (int i = m, j = n; i >= 1; i--) {
j = g[i][j];
printf("%d ", j);
}
return 0;
}