「USACO Training 3.1」Humble Numbers【DP】

思路分析

枚举算法:

  1. 定义: dp(i)dp(i) 表示第 ii 小的丑数,pos(i)pos(i) 表示 num(i)num(i) 至少需要乘以 dp(pos(i))dp(pos(i)) 才能大于 dp(i1)dp(i-1)
  2. 算法 (伪代码):
1
2
3
while num(i) * dp(pos(i)) <= dp(i - 1)	// 枚举 pos(i)
pos(i)++
dp(i) = min{dp(i), num(i) * dp(pos(i))}
  1. 注意: pos(i)pos(i) 在计算 dpdp 数组时非降。

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数学公式示例 (LaTeX)

递推公式: F[i, v]=max{F[i1, vkCi]+kWi  0kCiv}\displaystyle F[i,\ v] = \max \Big\{F[i - 1, \ v - k C_i] + {k W_i} \ |\ 0 \leqslant k C_i \leqslant v\Big\}

求和公式: i=1ni3=(i=1ni)2=n2(n+1)24\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i^3 = \left( {\sum_{i=1}^n i} \right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}

彩色表达式: x3±y3=(x±y)(x2xy+y2){\color{crimson}x^3} \pm {\color{blue}y^3} = ({\color{crimson}x} \pm {\color{blue}y})({\color{crimson}x^2} \mp {\color{crimson}x}{\color{blue}y} + {\color{blue}y^2})

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